Para resolver a integral \( \int x^2 e^x \, dx \), utilizamos o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por:\[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \]Vamos escolher \( u \) e \( dv \) da seguinte maneira:\[ u = x^2 \quad \text{e} \quad dv = e^x \, dx \]Agora, precisamos encontrar \( du \) e \( v \):\[ du = 2x \, dx \quad \text{e} \quad v = e^x \]Substituindo na fórmula de integração por partes, temos:\[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x – \int e^x \cdot 2x \, dx \]Agora, precisamos resolver a integral \( \int 2x e^x \, dx \). Novamente, usamos integração por partes. Escolhemos:\[ u = 2x \quad \text{e} \quad dv = e^x \, dx \]Encontramos \( du \) e \( v \):\[ du = 2 \, dx \quad \text{e} \quad v = e^x \]Substituindo na fórmula de integração por partes, temos:\[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x – \int e^x \cdot 2 \, dx \]\[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x – 2 \int e^x \, dx \]\[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x – 2e^x \]Substituindo de volta na integral original:\[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x – (2x e^x – 2e^x) \]\[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x – 2x e^x + 2e^x + C \]Portanto, a solução da integral é:\[ \int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 – 2x + 2) + C \]
Para resolver a integral \( \int x^2 e^x \, dx \), utilizamos o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por:
\[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \]
Vamos escolher \( u \) e \( dv \) da seguinte maneira:
\[ u = x^2 \quad \text{e} \quad dv = e^x \, dx \]
Agora, precisamos encontrar \( du \) e \( v \):
\[ du = 2x \, dx \quad \text{e} \quad v = e^x \]
Substituindo na fórmula de integração por partes, temos:
\[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x – \int e^x \cdot 2x \, dx \]
Agora, precisamos resolver a integral \( \int 2x e^x \, dx \). Novamente, usamos integração por partes. Escolhemos:
\[ u = 2x \quad \text{e} \quad dv = e^x \, dx \]
Encontramos \( du \) e \( v \):
\[ du = 2 \, dx \quad \text{e} \quad v = e^x \]
Substituindo na fórmula de integração por partes, temos:
\[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x – \int e^x \cdot 2 \, dx \]
\[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x – 2 \int e^x \, dx \]
\[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x – 2e^x \]
Substituindo de volta na integral original:
\[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x – (2x e^x – 2e^x) \]
\[ \int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 – 2x + 2) + C \]
Portanto, a solução da integral é:
\[ \int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 – 2x + 2) + C \]
